Trasformazioni Stella (Y) ↔ Triangolo (Δ)
by Fernando Chiurazzi
appfc.it
Teoria + esempi + esercizi
Nota importante (verifica risultati):
questo strumento esegue calcoli automatici con attenzione didattica, tuttavia è buona pratica
verificare sempre i risultati con calcoli indipendenti o riscontri di laboratorio:
anche un software accurato può presentare, in casi rari, imprecisioni dovute a errori non intenzionali nella programmazione o all’inserimento dei dati.
Indice rapido
Perché si fanno le trasformazioni Y↔Δ
Le trasformazioni Stella (Y) ↔ Triangolo (Δ) servono a semplificare reti
in cui non è possibile applicare direttamente serie/parallelo.
Sono fondamentali in DC (resistenze) e in AC (impedenze complesse).
Concetto: una rete Y e una rete Δ possono essere progettate affinché risultino equivalenti ai morsetti A–B–C.
Quindi, qualsiasi circuito esterno “vede” le stesse impedenze tra AB, BC e CA.
Quando conviene usare Y↔Δ
Riduzione di circuiti (esami + esercizi)
- Ponti resistivi non riducibili con serie/parallelo
- Reti con “triangoli” interni che bloccano la semplificazione
- Calcolo di Req o Zeq tra due morsetti
Applicazioni reali
- Carichi trifase (stella/triangolo)
- Impedanze equivalenti in reti AC (R, L, C)
- Modellazione di sottoreti per analisi più veloce
Teoria: equivalenza elettrica e condizioni
L’equivalenza è garantita se le impedenze viste tra ogni coppia di morsetti coincidono:
ZAB, ZBC, ZCA.
Per questo lo strumento effettua una verifica automatica su tutte e tre.
Nota: l’equivalenza vale “verso l’esterno” (ai morsetti A–B–C).
Correnti e tensioni interne ai rami possono cambiare, ma la rete esterna non se ne accorge.
- Reale:
10, -3.5
- Immaginario puro:
j5, -j2
- Rettangolare:
10+j5, 10-j5
Stella → Triangolo (Y→Δ)
S = ZA·ZB + ZB·ZC + ZC·ZA
- ZAB = S / ZC
- ZBC = S / ZA
- ZCA = S / ZB
Triangolo → Stella (Δ→Y)
D = ZAB + ZBC + ZCA
- ZA = (ZAB·ZCA) / D
- ZB = (ZAB·ZBC) / D
- ZC = (ZBC·ZCA) / D
Verifica tra morsetti (AB, BC, CA)
Stella (Y)
ZAB(Y) = ZA + ZB
ZBC(Y) = ZB + ZC
ZCA(Y) = ZC + ZA
Triangolo (Δ)
ZAB(Δ) = ZAB || (ZCA + ZBC)
ZBC(Δ) = ZBC || (ZAB + ZCA)
ZCA(Δ) = ZCA || (ZBC + ZAB)
Parallelo: Z1 || Z2 = (Z1·Z2) / (Z1 + Z2)
Errori tipici e consigli pratici
- Formato: usa sempre j (es. 10-j5).
- Denominatore ≈ 0: se un denominatore è vicino a zero, i risultati possono diventare molto grandi o instabili.
- Controllo: usa sempre le verifiche AB/BC/CA: lo scarto dovrebbe essere ≈ 0%.
Esempi svolti
Esempio (DC) — Stella → Triangolo
DCY→Δ
Dati: ZA=10Ω, ZB=20Ω, ZC=30Ω
S = 10·20 + 20·30 + 30·10 = 1100
ZAB = 1100/30 = 36.6667 Ω
ZBC = 1100/10 = 110 Ω
ZCA = 1100/20 = 55 Ω
Esempio (AC) — Triangolo → Stella (reattanze)
ACΔ→Y
Dati: ZAB=j10, ZBC=j20, ZCA=j30
D = j10 + j20 + j30 = j60
ZA = (j10·j30)/j60 = (-300)/j60 = +j5
ZB = (j10·j20)/j60 = (-200)/j60 = +j3.3333
ZC = (j20·j30)/j60 = (-600)/j60 = +j10
Esercizi proposti (con soluzioni attese)
Usa lo strumento per svolgere e verificare. Le soluzioni sono “attese” (valori/forme di riferimento).
In AC è normale ottenere valori complessi: l’importante è che lo scarto AB/BC/CA sia ≈ 0%.
| # |
Tipo |
Dati |
Richiesta |
Soluzione attesa |
| 1 |
DC — Y→Δ |
ZA=5Ω, ZB=10Ω, ZC=15Ω |
Calcola ZAB, ZBC, ZCA |
S=275; ZAB=18.3333Ω; ZBC=55Ω; ZCA=27.5Ω |
| 2 |
DC — Δ→Y |
ZAB=30Ω, ZBC=60Ω, ZCA=90Ω |
Calcola ZA, ZB, ZC |
D=180; ZA=15Ω; ZB=10Ω; ZC=30Ω |
| 3 |
DC — Y simmetrica |
ZA=ZB=ZC=12Ω |
Converti in Δ |
ZAB=ZBC=ZCA=36Ω |
| 4 |
DC — Δ simmetrica |
ZAB=ZBC=ZCA=45Ω |
Converti in Y |
ZA=ZB=ZC=15Ω |
| 5 |
AC — Y→Δ |
ZA=10+j5, ZB=8-j2, ZC=6+j4 |
Converti in Δ e verifica |
Valori complessi; verifica: scarto AB/BC/CA ≈ 0% |
| 6 |
AC — Δ→Y |
ZAB=j12, ZBC=j18, ZCA=j30 |
Converti in Y |
Valori attesi puramente immaginari; scarto AB/BC/CA ≈ 0% |
| 7 |
AC — segni |
ZA=5, ZB=j10, ZC=4-j3 |
Y→Δ e verifica |
Valori complessi; attenzione ai segni; scarto ≈ 0% |
| 8 |
DC — controllo AB |
ZA=7Ω, ZB=11Ω, ZC=13Ω |
Y→Δ e confronta ZAB(Y) e ZAB(Δ) |
ZAB(Y)=18Ω; (Δ: ZAB || (ZCA+ZBC)) ⇒ ≈18Ω |
| 9 |
AC — misto |
ZAB=5+j5, ZBC=10-j3, ZCA=8+j0 |
Δ→Y e verifica |
Valori complessi; scarto AB/BC/CA ≈ 0% |
| 10 |
DC — “quasi critico” |
ZAB=1Ω, ZBC=1Ω, ZCA=0.001Ω |
Δ→Y e osserva stabilità |
Possibili valori molto grandi (denominatore piccolo): attenzione, verifica sempre! |
Suggerimento per docenti: usa gli esercizi 1–4 per consolidare la tecnica (numeri semplici),
poi passa agli esercizi AC (5–9) e al caso “critico” (10) per discutere stabilità numerica e controllo dei risultati.
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by Fernando Chiurazzi — Materiale didattico per ITIS / Professionali / Università.